Τετάρτη, 13 Απριλίου 2016

ΠΡΟΛΟΓΟΣ



Το εγχειρίδιο αυτό είναι ένα  εργαλείο. 
Περιέχει συνοπτικά και ουσιαστικά τα βασικά στοιχεία της επιστήμης που περιγράφει, η οποία είναι και η βάση όλων των θετικών επιστημών.

 Απαντά όχι μόνο στο τι και πως όπως συνήθως,
αλλά και στο προς τι, δηλαδή ποιο το πρόβλημα ή η ανάγκη που δημιούργησε την πρόκληση για τη λύση του αλλά και 
στο πως προέκυψε η λύση αυτή, με ποιο σκεπτικό και κεντρική ιδέα με ποιες περιπέτειες. Στο βαθμό που είναι γνωστό βεβαίως επειδή αιώνες συσσώρευσης λύσεων χωρίς το σκεπτικό τους τις κάνει σε μεγάλο βαθμό άχρηστες.

Στο ''προς τι υπάρχει, και στο πως προκύπτει η λύση'' εδραιώνεται η απόδοση νοήματος της γνώσης.
Αυτές είναι οι ρίζες της γνώσεως στη ζωή.
Η γνώση αυτού του είδους η ζωντανή δηλαδή είναι που γεννά λύσεις και δημιουργεί.

Οι πληροφορίες αυτές όμως είναι αφενός δυσεύρετες αλλά και βαραίνουν ποσοτικά τη γνωστική ύλη μας με περιγραφές ιστορικές και επεξηγήσεις που αντιστρατεύονται τον εξαιρετικά συνοπτικό της χαρακτήρα. 
  
Το νόημα του έργου αυτού ωστόσο  είναι γενικά η μεταφορά της εξαιρετικά συνοπτικής αν και πλήρους όσο είναι εφικτό εικόνας της επιστήμης αυτής μεν, στον κατάλληλο άνθρωπο με κατάλληλο τρόπο δε.

Ο βασικός αποδέκτης είναι ο νέος σε πνεύμα άνθρωπος  με καλλιτεχνικό ταμπεραμέντο ερευνητική και  δημιουργική διάθεση.

Οι άνθρωποι αυτοί είδα να απορρίπτονται από την κοινωνία:
α. ως ελλιπώς συγκεντρωμένοι στο στόχο επειδή δεν κοιτάζουν μόνο το δέντρο αλλά και το δάσος,

β. ως μη πρακτικοί άνθρωποι επειδή δεν μεριμνούν μόνο για το συμφέρον τους όπως ο περισσότερος κόσμος αλλά έχουν έντονη προδιάθεση προσφοράς.

γ. ως μη αξιόπιστοι και φερέγγυοι γιατί δεν είναι διατεθειμένοι να δέχονται τυφλά και άκριτα τις υπάρχουσες λύσεις και γίνονται επαναστάτες,

δ.ως ανυπάκουοι και απείθαρχοι στο ''πίστευε! και μη ερεύνα!''
 αλλά εξαιρετικά προσηλωμένοι στην ουσία και το νόημα της έρευνας της, πιστοί θιασώτες του ''πίστευε και μη, Ερεύνα!''σε βαθμό που βρίσκουν μόνοι τους αυτό που ψάχνουν.

ε.ως ακοινώνητοι παρίες του κοινωνικού βίου εντέλει, αφού με όλη αυτή την εναντίωση της κοινωνίας απέναντι τους απομονώνονται -όντες εσωστρεφείς- και στρέφονται στις αναζητήσεις τους.

Τους στερείται έτσι το νόημα της γνώσης και της πράξης.
Τους στερείται το δικαίωμα στην εξήγηση του νοήματος.
Οι πιο πολλοί νέοι υποτίθεται δεν ενδιαφέρονται ούτε για το προς τι, ούτε για το πως προέκυψε το πρόβλημα και η λύση του.
Οι πολλοί απλά δεν το έχουν τόσο μεγάλη ανάγκη ώστε να το ζητήσουν. Προωθείται έτσι μια αποστειρωμένη γνώση που είναι στείρα κι έχουμε δυστυχώς συσσωρεύσει ένα πέλαγος από αυτή.

Αυτό πρέπει να πάψει! 
Επομένως όσοι την έχουν αυτή την ανάγκη πρέπει να διακρίνονται και να προκρίνονται στον αγώνα τους να υποστηρίζονται από παιδιά έως τα γεράματα με κάθε δυνατό τρόπο. 

Αξίζει να χτίσουμε πάνω στις προσπάθειες τους την κοινωνία μας. 

''Λίθον ον απέρριψαν οι οικοδομούντες... θα κάνουμε ακρογωνιαίο μας λίθο''

Στο βαθμό που κάθε παιδί έχει έναν ερευνητή  δημιουργό μέσα του αναφέρομαι σε όλα τα παιδιά. 

Επίσης στο βαθμό που οι ενήλικες διατηρούν το παιδί μέσα τους απευθύνομαι και στους μεγάλους.

Η γλώσσα μου είναι πιστεύω απλή για ενήλικες ως μη εξειδικευμένη -ως μη ειδικός- οπότε απευθύνεται σε κάθε ένα που μιλάει ελληνικά. 
Σίγουρα υστερεί σε σχέση με τα μικρά παιδιά για τα οποία θα προσπαθήσω να κάνω προσαρμογή του έργου εκ νέου με βάση συνεργασία με παιδιά.

Θέλω να βοηθήσω όσο περνάει από το χέρι μου να βρουν αυτά που αναζητούν οι νέοι,αυτά που τους καλύπτουν τις ανάγκες,  και τους βοηθούν να θεμελιώσουν και να αναπτύξουν το υπέρτατο θαύμα της δημιουργικής τους φύσης. 
Τη φύση αυτή που σήμερα προβάλλεται ως αναπηρία κοινωνική κι εντέλει μέσω της γενικευμένης κατακραυγής αποβάλλεται ή αδρανοποιείται ως αθέμιτη ιδιότητα.


Από την προσωπική μου εμπειρία η καλλιτεχνική φύση διαθέτει και εξαιρετική έφεση στις επιστήμες, ειδικά δε τις παραστατικές και φυσικές και τις έννοιες.
 Όχι όμως και στον υπολογιστικό και ανταγωνιστικό χαρακτήρα των επιστημών όπως διδάσκονται στο 
σχολείο. Που θεωρεί ο νέος -και είναι όντως- περιττό αγώνα από τον οποίο παραιτείται.

Ο νέος άνθρωπος θα πρέπει να αναζητάει και σε εξωσχολικές πηγές τη μόρφωση που του ταιριάζει.
Ευελπιστώ το έργο να βοηθάει όσους την αναζητούν.

Η καλλιτεχνική φύση που δεν αντιλαμβάνεται το νόημα του κάθε γνωστικού τομέα τείνει να τον διαγράφει από τη μνήμη ως περιττό, ασχέτως αν δηλώνεται ως χρήσιμος στο σχολείο και είναι όντως.

Η αδέσμευτη φύση των καλλιτεχνών απαιτεί άμεσα από το κάθε τι τα διαπιστευτήρια του, που βασίζονται στην απλή κοινή λογική και πράξη, αυτό που λέμε την διαδρομή του.

Επομένως το πλήθος των ασκήσεων που είναι γεμάτες με υπολογισμούς καταντά εξόχως ανιαρό για εκείνους που διψάνε για την ουσία των επιστημών και τους δίνεται μετ' εμποδίων.

Εδώ δεν θα έχουν ούτε μια άσκηση να λύσουν για να δείξουν πως ξέρουν, επειδή  η πραγματική γνώση έρχεται από την σύνδεση, την επανάληψη και τη χρήση των πληροφοριών κι όχι από την αποκομμένη  κατανόηση αυτό εξάλλου δείχνει και η λέξη μόρφωση. 

Η χρήση ο σκοπός και το νόημα δίνουν το ενδιαφέρον και τον ενθουσιασμό που απαιτείται.

Αν τους ενδιαφέρει θα το διαβάσουν και θα το κατανοήσουν. 
Αν τους είναι χρήσιμο θα το θυμούνται και αν το ξεχάσουν θα ανατρέχουν εύκολα στο εγχειρίδιο, αν όχι θα ξεχαστεί και θα χαθεί.

Όλη η Ελληνική παιδεία στηρίζεται στο αξίωμα αυτό: Αν αξίζει να σωθεί θα σωθεί αν όχι ας χαθεί. 

δεν έχει διασωθεί ούτε ένα αυθεντικό χειρόγραφο Έλληνα δημιουργού, έχουν διασωθεί σχεδόν όλα όσα άξιζαν τον κόπο της διάσωσης τους όμως το πιο ανθεκτικό υλικό στο κόσμο μας είναι το πνεύμα.

Εδώ δάσκαλος θεωρείται ο αναγνώστης που είναι και ερευνητής παράλληλα. 

Εάν μεν τον ενδιαφέρει η ουσία της επιστήμης, θα προχωρήσει μέχρι τέλους, αν όμως χάσει τα ίχνη, μέσα από δαιδαλώδεις διαδρομές ασκήσεων και θεωριών, που δυσκολεύουν χωρίς ουσία, και προσθέτουν ποσότητα εμποδίων, θα χάσει τον ειρμό, από τον όγκο των περιττών δυσκολιών, που κρύβουν τη θέα της κατάληξης.

Άρα αυτές τις δυσκολίες στο βαθμό που μπορούσα ως μη ειδικός τις κατάργησα με το έτσι θέλω.

Το ενδιαφέρον μου επικεντρώνεται: 

1)στη κατανόηση μέσω της αρχής της ανάλυσης 
ή ''διαίρει και βασίλευε'' 
Για τούτο τα έκανα όσο πιο λιανά μπορούσα.

2)στην απόδοση του νοήματος του κάθε τομέα που υπάρχει: γιατί υπάρχει, πως προκύπτει και που βρίσκει εφαρμογή, που αποσκοπεί; 

3)στην ιστορική θεμελίωση των παραπάνω περιληπτικά ως εξήγηση τους και νοηματικό δέσιμο τους. 

Αν έστω ένα από τα τρία λείπει δεν υπάρχει η βάση που θα το στηρίξει στο νου μας κι άρα θα χαθεί σύντομα.

 Πιο εύκολα θυμόμαστε ιστορίες που δένουν έστω και χοντρικά τα δεδομένα παρά δεδομένα ακριβείας στεγνά κι αφηρημένα. Για τούτο και ανέτρεξα σε παλιότερα εγχειρίδια που φέρουν αυτή τη μέθοδο που προτιμώ.

Το έργο αυτό είναι μια απλή συρραφή εργασιών των οποίων απλά τη γλώσσα και τη παρουσίαση άλλαξα οπότε τα όποια εύσημα πρέπει να πάνε σε κείνους που έκαναν τις εργασίες εκείνες όπως φαίνονται στη βιβλιογραφία όπου αναφέρω και τη συνεισφορά τους.

Τρίτη, 12 Απριλίου 2016

ΕΙΣΑΓΩΓΗ



Εισαγωγή

Ότι δεν μετριέται δεν μπορεί να ελεγχθεί.

Αν θέλουμε να έχουμε τον έλεγχο στις δράσεις μας χρησιμοποιούμε σωστά τη μέτρηση και ότι της χρησιμεύει ώστε να γίνει σωστά.

Μέτρηση είναι η ενέργεια που μας αποφέρει τη γνώση της ποσότητας των πραγμάτων που μας ενδιαφέρουν.

 Η επιστήμη των μετρήσεων είναι η αριθμητική και τα μαθηματικά γενικότερα. Η αριθμητική είναι είδος μαθηματικών απλών και καθημερινών που χρησιμοποιούνται ως βάση για όλες τις επιστήμες ειδικά δε τις λεγόμενες θετικές.

Όποιος λοιπόν ενδιαφέρεται να έχει έλεγχο στα πράγματα που τον αφορούν και όπου είναι εφικτό να έχει τέτοιον έλεγχο, οφείλει να γνωρίζει καλά την αριθμητική τα μαθηματικά και κατ' επέκταση όλες τις επιστήμες.

Λένε πως η γνώση είναι δύναμη.
Η γνώση δεν είναι τίποτε αν δε χρησιμοποιείται, μοιάζει με ένα δυνατό όπλο στο συρτάρι.

Ο έλεγχος είναι δύναμη όταν γίνεται με γνώση και καθορίζει ορθά την οργάνωση δηλαδή την αποτελεσματικότητα και παραγωγικότητα των δράσεων.
Ο έλεγχος μοιάζει με την ευστοχία στη χρήση του όπλου.

Η δύναμη προκύπτει από το μέγεθος των δράσεων, όσο μεγαλύτερες, τόσο μεγαλύτερη γνώση απαιτούν, για να γίνουν ορθώς, και τόσο μεγαλύτερα τα αποτελέσματα.
Άλλο να ευστοχείς σε μια πέτρα, άλλο σε ένα στρατιώτη, άλλο σε ένα στρατηγό.

Μάθε καλά και πράττε σωστά.
--
Ορισμοί
Η αρχή κάθε επιστήμης είναι η των ονομάτων των εννοιών γνώση. Όποιος δεν κατανοεί κάτι του διαφεύγει το νόημα μιας ή παραπάνω εννοιών.

1.ποσότητα
Όλες οι μαθηματικές επιστήμες καταγίνονται με την ποσότητα ή με το μέγεθος. Ποσότητα δε ονομάζεται παν το ενδεχόμενο αύξησης και ελάττωσης, όπως οι γραμμές, οι επιφάνειες, τα βάρη, οι χρόνοι και λοιπά.

2.μονάδα
Όταν θέλουμε να αποκτήσουμε τέλεια ιδέα κάποιας ποσότητας πρέπει να λάβουμε άλλη ποσότητα του ίδιου είδους, όσο μεγάλη θέλουμε, ώστε μέσω αυτής να συγκρίνουμε εκείνη, και η ποσότητα που παίρνουμε
 σαν μέτρο σύγκρισης λέγεται μονάδα η' μονάδα μέτρησης.
πχ το κιλό, το μέτρο, η ώρα,

3.ο αριθμός
Το εξαγόμενο της σύγκρισης αυτής -ή μέτρησης -ονομάζεται αριθμός ' ο οποίος για τούτο προσδιορίζει, πόσο μεγάλη είναι η ποσότητα σχετικά με τη μονάδα της 'π.χ. λέγοντας ότι μια γραμμή έχει μήκος οκτώ εκατοστών, εννοούμε, ότι το μήκος της γραμμής είναι οκτώ φορές μεγαλύτερο του εκατοστού.

4.η Αριθμητική
Η επιστήμη που εξετάζει τις ιδιότητες και τις σχέσεις των αριθμών, και διδάσκει πως από τους γνωστούς αριθμούς να βρίσκουμε άλλους αγνώστους, γνωρίζοντας τις σχέσεις τους προς τους γνωστούς, ονομάζεται Αριθμητική. Επειδή δε εξετάζει εν γένει τις ποσότητες, τις οποίες εξετάζουν οι λοιπές μαθηματικές επιστήμες, εκτός μόνον ότι εδώ προϋποτίθεται, ότι συγκρίθηκαν και είναι εκφρασμένες με αριθμούς, έπεται ότι η Αριθμητική είναι η βάση όλων των


 --

μαθηματικών επιστημών.

5.τα είδη των αριθμών
με κριτήριο το τρόπο επανάληψης της μονάδας: ολόκληρη ή και μέρος της.
Ο αριθμός ονομάζεται:
 Ακέραιος μεν όταν γίνεται από την επανάληψη της μονάδας, όπως πέντε μέτρα'

Κλάσμα δε όταν γίνεται από την επανάληψη μέρους της μονάδας, όπως πέντε όγδοα του μέτρου' και μικτός όταν περιέχει ακέραιο και κλάσμα, όπως πέντε μέτρα και δύο τρίτα.

6.τα είδη των αριθμών
με κριτήριο την ύπαρξη ή μη του είδους της μονάδος.
Ο αριθμός ονομάζεται συγκεκριμένος μεν όταν συνεκφράζει και το είδος της μονάδας, από την οποία παράγεται π.χ.
 πέντε μέτρα, οκτώ δραχμές, δέκα κιλά'

και αφηρημένος όταν φανερώνει μόνο πόσες φορές η μονάδα ή μέρος της επαναλαμβάνεται χωρίς τη συνέκφραση του είδους της.

Αφηρημένους θα θεωρούμε ως επί το πλείστον τους αριθμούς όταν μάλιστα πρόκειται να εξάγουμε από αυτούς γενικότερους κανόνες.
πχ πέντε, οκτώ, δέκα ώστε δεν απαντάμε στο τι είναι

Σύγκριση αριθμών με βάση τη ποσότητα που περιέχουν: Οι αριθμοί μπορούν να είναι μεταξύ του  ίσοι ή  άνισοι δηλαδή διαφορετικοί.
Αν μεν είναι ίσοι έχουν ίδια ακριβώς ψηφία περιέχουν την ίδια ακριβώς ποσότητα. Αν είναι άνισοι έχουν διαφορετικά ψηφία επειδή περιέχουν διαφορετικές ποσότητες.
Για να δείξουμε ότι δυο αριθμοί είναι ίσοι χρησιμοποιούμε το σύμβολο της ισότητας που προφέρεται ίσον[ =]
--

πχ 8=8
Για να δείξουμε ότι δυο αριθμοί είναι άνισοι ή διαφορετικοί χρησιμοποιούμε το σύμβολο διάφορο το ίσον με διαγώνια γραμμή =/=


Οι άνισοι ή διαφορετικοί αριθμοί μπορούν να είναι ο ένας μικρότερος κι ο άλλος μεγαλύτερος.
Ο μικρότερος συμβολίζεται με ένα βέλος  [<]που δείχνει προς το μικρότερο δηλαδή
8<9
Επίσης ο μεγαλύτερος συμβολίζεται με το βέλος [>] που δείχνει προς το μικρότερο δηλαδή
9>8




























--

ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ




Τα μαθηματικά ως επιστήμη γεννήθηκαν από τον μεγάλο έλληνα σοφό, τον έμπορο, φιλόσοφο και μαθηματικό Θαλή τον Μιλήσιο που έζησε από το 546 πΧ έως το 640 πΧ στην ελληνική πόλη Μίλητο της Μικράς Ασίας.
Σε αυτόν η ανθρωπότητα χρωστάει τη γένεση της Επιστήμης γενικά, αφού θεμελίωσε την πρώτη αποδεικτική μέθοδο. 
Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών οφείλεται σε αυτόν και αφορά στην πρόταση:

''Η διάμετρος ενός κύκλου τον χωρίζει σε δύο ίσα μέρη''

και από τότε κανένας κύκλος στο κόσμο δεν ξεφεύγει από τον κανόνα αυτό.

Ο ίδιος ο Θαλής όμως είναι μέρος μιας μαθηματικής παράδοσης ερευνών και δημιουργίας χιλιετηρίδων τόσο των προγόνων του όσο κι ανθρώπων και πολιτισμών σε όλο το κόσμο.

Μας είναι γνωστά  αρχαιολογικά ευρήματα αντίστοιχου επιπέδου μαθηματικής παράδοσης από όλο το κόσμο  εκεί γύρω στο 16ο αιώνα πΧ.
Όπως για παράδειγμα το αρχαιολογικό εύρημα της αγίας τριάδας λίγο έξω από τη Φαιστό στη Κρήτη -εύρημα μόλις του 1965 που ανάγεται στο 1700 πΧ από ανάκτορο του Μινωικού πολιτισμού. Πρόκειται για χάραγμα σε τοίχο που κάποιος μαθητής της εποχής αυτής χάραξε και αφορά σε γεωμετρική πρόοδο επίπεδο μαθηματικών που συναντάται έντεκα αιώνες αργότερα στα ''Στοιχεία'' του Ευκλείδη.

Οι παραπομπές του Πλάτωνα στο 9.500 πΧ και παλαιότερα [Τίμαιος 20-25] μας κάνουν να πιστεύουμε όπως περιγράφει ότι ανέφεραν ξεκάθαρα στον Σόλωνα ιερείς Αιγύπτιοι:  έχει γίνει σβήσιμο της πολιτιστικής μνήμης των Ελλήνων της προϊστορίας και των επιτευγμάτων τους  από παγκόσμιες φυσικές καταστροφές, κατακλυσμούς, μετεωρίτες ή άλλες. 
Εξάλλου η αναφορά τους ότι οι Έλληνες ήταν χίλια χρόνια προγενέστεροι των Αιγυπτίων και εκείνοι το ήξεραν ενώ εμείς το αγνοούσαμε μας κάνει να σκεφτούμε ότι υπήρχαν στενοί πολιτιστικοί δεσμοί. 
Οι δεσμοί αυτοί φαίνονται εξάλλου και στη συνέχεια ειδικά δε στις κοινές θεότητες
 όπως τον Ερμή που οι Αιγύπτιοι τον έλεγαν Θευθ και τον έλεγαν ιδρυτή της γραφής, της λογικής, της αριθμητικής  της γεωμετρίας και αστρονομίας.
Από αυτόν προέκυψαν και ονομασίες πόλεων όπως Ερμούπολη Μεγάλη και Ερμούπολη Μικρή

"ΑΥΤΩ ΔΕ ΟΝΟΜΑ ΤΩ ΔΑΙΜΟΝΙ ΕΙΝΑΙ ΘΕΥΘ.ΤΟΥΤΟΝ ΔΗ ΠΡΩΤΟΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΕ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΟΝ ΕΥΡΕΙΝ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΝ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΝ... ''
Πλάτωνος, Φαίδρος, 174,b 7- d 1

Γνωρίζουμε τρεις τουλάχιστον τέτοιους κατακλυσμούς που έσβησαν τα ίχνη των παγκόσμιων πολιτισμών κι έχουμε ελάχιστα στοιχεία τους για πριν τον προτελευταίο που κατέστρεψε τους Μινυούς και λίγο περισσότερα για πριν τον τελευταίο που κατέστρεψε τους Μινωίτες. 
Οι δύο πολιτισμοί των προγόνων μας έχουν αφήσει τα ίχνη και τα απομεινάρια τους στη θάλασσα του Αιγαίου αλλά και στο παγκόσμιο χώρο.
Γίνεται προφανές από αυτά τα ίχνη ότι οι πολιτισμοί επικοινωνούσαν από τότε κι έχουν κοινά στοιχεία.

Έτσι η θεωρία της αλληλουχίας ή σκυταλοδρομίας των πολιτισμών φαίνεται ανόητη  και καταλήγουμε στην εντελώς διαφορετική εικόνα για το αμάλγαμα του παγκόσμιου πολιτισμού που ξεπερνάει κάθε εθνική συνεισφορά στη δημιουργία του.

Επομένως δεν μιλάμε απλά για εθνική παρακαταθήκη αλλά για παγκόσμια κληρονομιά που έχει δώσει ελάχιστα μεν στοιχεία, διασκορπισμένα δε στα τέσσερα σημεία του ορίζοντα.
Ας δούμε πως σε μια συγκεκριμένη χρονική ζώνη γύρω στο 1700 πΧ σε όλα τα μήκη και τα πλάτη του κόσμου η μαθηματική γνώση και δημιουργία ήταν σε αντίστοιχο επίπεδο ιδιαίτερα υψηλό μάλιστα για του λόγου το αληθές ας δούμε αντίστοιχα ευρήματα στα τέσσερα σημεία του ορίζοντα που βέβαια δεν είναι τα μόνα:

 Ευρώπη: πανάρχαια Ελλάδα του αιγαίου Μινωίτες, 
Εύρημα Αγίας Τριάδας:
Εύρημα αγίας Τριάδας γραμμικής α περίπου 1700 πΧ

Εγχάρακτη επιγραφή -γκράφιτι- 16ου αιώνα πΧ από τοίχο Μινωικού ανακτόρου κοντά στη Φαιστό σε γραμμική α με περιγραφή γεωμετρικής προόδου.

Ασία: πολιτισμός των Βαβυλωνίων 
πινακίδα του Πλίμπτον 
πινακίδα του Plimpton περίπου 1700πΧ

Αφρική: πολιτισμός πανάρχαιας  Αιγύπτου  κώδικας του Ρίντ
κώδικας ή πάπυρος του Rhind 1700 πΧ
 
Αμερική:  πολιτισμοί του Ήλιου [Μάγια, Αζτέκοι, Ίνκας]   Το ημερολόγιο των Μάγιας θεωρείται το ακριβέστερο ημερολόγιο στην ανθρώπινη ιστορία


Για την επικοινωνία των πολιτισμών υπάρχουν μάλιστα μνημεία αφιερώματα λόγου χάρη:
Η στήλη της Ρωζέτης περίπου 350 πΧ
Το μνημείο της πολιτιστικής επικοινωνίας μεταξύ Ελληνικού, Αιγυπτιακού, Βαβυλωνιακού πολιτισμού και δεδομένου ότι είναι απόσπασμα δεν ξέρουμε ποιών άλλων.
Άρα η γραμμική ιστορία του τύπου πρώτα αυτός μετά εκείνος ο πολιτισμός είναι παραπλανητική στην προϊστορία αφού δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για την πλήρη εικόνα.
Ακόμη και στην ιστορική περιοχή δεν έχουμε επαρκή στοιχεία για να έχουμε πλήρη εικόνα.

Το συμπέρασμα από τα παραπάνω είναι πως:
είμαστε πάρα πολλοί για να είμαστε εντελώς διαφορετικοί, μας συνδέουν δε πολύ περισσότερα από όσα μας χωρίζουν. 
Οι άνθρωποι στο βάθος της ιστορίας και της προϊστορίας έχουν κοινές ανάγκες και βρίσκουν αντίστοιχους τρόπους να τις καλύψουν, μάλιστα οι δημιουργοί δεν διστάζουν να υπερβούν κάθε εθνικό ή άλλο όριο στη προσπάθεια τους να ανταποκριθούν στις προκλήσεις για εξέλιξη και πρόοδο του πολιτισμού. 

Το βάθος της ιστορίας συνολικό το αποδεικνύει αλλά και οι προϊστορικοί πολιτισμοί είχαν προσπαθήσει να δώσουν λύσεις και να καλύψουν ανάγκες που ξεκινούν από την ζωώδη ακόμη μορφή του ανθρώπου κυνηγού συλλέκτη και καλλιεργητή.
Σε αυτό το συμπέρασμα οδηγούν ευρήματα της απώτατης προϊστορικής εποχής με εγχάραξη σε κόκαλο ή σε πέτρα ποσοτήτων που οι ειδικοί αναρωτιούνται τι μπορεί να είναι; 
-Μα ότι θα χρειαζόταν και σήμερα ένας άνθρωπος και ειδικότερα κυνηγός ή κτηνοτρόφος ή καλλιεργητής να σημειώσει για να υπολογίσει ή να θυμηθεί:
Κάτι που αφορά το χρόνο, τα ζωντανά του ή τα αγαθά του, το χώρο του,τις δυσκολίες του, και λοιπά.

Έτσι ξεκινάει η ενασχόληση με την αριθμητική και σε ότι αφορά το χώρο με τη γεωμετρία.
Είναι ηλίου φαεινότερο πως ακόμη και τα  ζώα κάνουν χρήση αυτών των αρχικών εννοιών των ποσοτήτων και των βασικών πράξεων τους, πειράματα με ζώα το έχουν αποδείξει.

Καταλήγει δε η ενασχόληση αυτή σε ένα χάος  επιστημών και κλάδων τους και ανθρώπων που ασχολούνται σήμερα με αυτό δεδομένου ότι η τεχνολογία δίνει προκλήσεις με μορφή χιονοστιβάδας. 
Δεν υπάρχει σήμερα μαθηματικός που να μπορεί να έχει γνώση του συνόλου των τομέων των μαθηματικών επιστημών με πληρότητα.

Υπάρχει όμως η δυνατότητα να ξεσκαρτάρουμε τη Θεωρία με την έννοια της συμπυκνωμένης εμπειρίας και πρακτικής χιλιετηρίδων  από τη θεωρία δηλαδή το αφηρημένο δημιούργημα μιας άποψης που κάποια στιγμή ο χρόνος και οι δοκιμές θα ξεσκαρτάρουν τα άχρηστα ή νόθα πνευματικά κατασκευάσματα της.

Άρα ας μην ψάχνουμε για κείνον τον πολιτισμό που δημιούργησε τη γραφή, την αριθμητική και τη γεωμετρία ως πρακτικές και τον έδωσε στους άλλους γιατί  απλούστατα εδράζονται όλα αυτά στο ένστικτο επιβίωσης και την ευρηματικότητα που όλοι διαθέτουν οπότε όλοι ανεξαιρέτως οι πολιτισμοί τη δημιούργησαν με ή χωρίς βοήθεια από άλλους.
Ας ψάξουμε για το προϊόν του αγώνα αυτού κι ας το σεβαστούμε ως προϊόν των προγόνων μας που πρέπει να διαφυλάξουμε και να εμπλουτίσουμε.

Η λογική, η αριθμητική, η γεωμετρία, αλλά και η γλώσσα και επομένως όλες οι επιστήμες έχουν ως παραδοχή συνειδητή ή όχι ότι υπάρχει κοινός τρόπος λειτουργίας αντίληψης και ύπαρξης των πραγμάτων του κόσμου που καθιστά εφικτή την καταγραφή των δομών και των αποτελεσμάτων τους με στόχο τον έλεγχο τους ώστε να ωφελούμαστε και να μην κινδυνεύουμε από αυτά.

Αυτή η ανάγκη για έλεγχο του κόσμου μας μέσω της γνώσης ξεκινάει με τη γλώσσα που καταγράφει τα πάντα στις έννοιες και τις λέξεις της: τα εργαλεία με τα οποία περιγράφει το παν.
Για τούτο οι σοφοί πρόγονοι μας έλεγαν 
''Αρχή επιστήμης ονομάτων επίσκεψις''
Για να έχουμε μια γενική εικόνα των ευρημάτων και την γραμμική χρονολόγηση τους θα δούμε ένα πανόραμα από την αρχή μέχρι τις μέρες μας με κομμάτια του παζλ της μαθηματικής παράδοσης.









Δευτέρα, 11 Απριλίου 2016

ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΡΑΦΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ


Οι Έλληνες στην αρχαιότητα έγραφαν όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 999 με γράμματα του αλφαβήτου και με τη βοήθεια σημείων στίξεως, τα οποία ήταν

«΄» η κεραία επάνω και μετά από το γράμμα,
«,» η ανάποδη κεραία κάτω και πριν από το γράμμα,
«.» η τελεία μεταξύ των γραμμάτων και
«¨» τα διαλυτικά επάνω από το γράμμα.

α´ β´ γ´ δ´ ε´ ϛ´ ζ´ η´ θ´    τους αριθμούς     1 2 3 4 5 6 7 8 9         αντίστοιχα
ι΄ κ΄ λ΄ μ΄ ν΄ ξ΄ ο΄ π΄ Ϟ΄     τους αριθμούς     10 20 30 ...  90            αντίστοιχα
ρ΄ σ΄ τ΄ υ΄ φ΄ χ΄ ψ΄ ω΄ ϡ΄  τους αριθμούς     100 200 300 ...  900     αντίστοιχα
,α ,β ,γ ,δ ,ε ,ς ,ζ ,η ,θ       τους αριθμούς     1000 2000 3000  9000  αντίστοιχα
Το Ϝ´ (δίγαμμα) χρησιμοποιείτο ως έξι στην αρχαιότητα. Αντικαταστάθηκε από το στίγμα (ϛ) . 
Τις τελευταίες δεκαετίες το στίγμα εξαφανίστηκε από το γραπτό λόγο  και τη θέση του ως αριθμητικού πήρε το στ΄. 
Το σύμβολο ϟ   -90- ονομαζόταν κόππα και είχε επίσης αντικαταστήσει το αντίστοιχο γράμμα ϙ που είχε περιέλθει σε αχρηστία. 
Το σύμβολο ϡ  -900- ονομάζεται σαμπί.
Ξεκινώντας από αυτό το σύστημα γραφής, οι πιο σύνθετοι αριθμοί γράφονταν ως σειρά γραμμάτων έτσι, ώστε το άθροισμα να μας δίνει τον συγκεκριμένο αριθμό. Τα γράμματα γράφονταν και διαβάζονταν από τα αριστερά προς τα δεξιά.
παραδείγματα
Ο αριθμός 153 γραφόταν «ρνγ».
Ο αριθμός 780 γραφόταν «ψπ».
Ο αριθμός 306 γραφόταν «τϛ».
Οι χιλιάδες (1000, 2000 κλπ) εκφράζονταν με τα ίδια γράμματα όπως οι εννιά μικροί αριθμοί, είχαν όμως για διακριτικό την κεραία πριν και κάτω του γράμματος.
Παραδείγματα
Το «,δ» σήμαινε 4.000, ενώ
το 1823 γραφόταν «,αωκγ» και
το «,αζ΄» σήμαινε 1.007.
Ο Διόφαντος έγραφε τον αριθμό 3.069.000 ως «τϛ.͵θ» 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α' ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ








--

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α

ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

7.Αρίθμηση
Πριν μεταβούμε στις διάφορες συμπλοκές-πράξεις που μπορούν να γίνουν επί των αριθμών πρέπει να εξετάσουμε πως οι αριθμοί διαμορφώθηκαν, πως ονομάζονται και πως γράφονται.

8.Η γραφή των αριθμών 
Για να γράψουμε τους αριθμούς σήμερα χρησιμοποιούμε δέκα ψηφία ειδικά, ακριβώς όπως για τη γραφή των λέξεων χρησιμοποιούμε στα ελληνικά 24 γράμματα.



Τα δέκα ψηφία είναι τα εξής: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9 
προέρχονται από την πανάρχαια ελληνική:  α,β,γ,δ,ε,ς,η,θ,
Πρόκειται για σύστημα διευκόλυνσης της γραφής των αριθμών από μη 'Ελληνες είναι  ινδικής έμπνευσης που έκαναν γνωστό οι άραβες και έμεινε γνωστό ως αραβικά αριθμητικά σύμβολα.

Στην πανάρχαια ελληνική το μηδέν δεν είναι αριθμός. 
Η ελληνική αλφάβητος των 27 γραμμάτων δεν ήταν μόνο για γραφή λέξεων αλλά και για αριθμούς  και για νότες.

Άρα οι Έλληνες που δεν χρησιμοποιούσαν άλλα ψηφία εκτός αλφαβήτου για τους αριθμούς φαινομενικά δεν κέρδισαν, αφού το σύστημα αυτό τους επιβάρυνε και στέρησε από τη γλώσσα τους όλες τις χρήσεις της.

Ωστόσο διευκόλυνε τα μαθηματικά παγκοσμίως αφού απέκτησαν παγκόσμια γλώσσα.


--

Ένας αριθμός σήμερα μπορεί να γραφτεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους : 

α) Μπορεί να γραφτεί με ψηφία (π.χ. 46.500) 
β) Με λέξεις (π.χ. σαράντα έξι χιλιάδες πεντακόσια) 
γ) Με μεικτό τρόπο, με ψηφία και με λέξεις
 (π.χ.46 χιλιάδες 500). 

8.Ονοματολογία των αριθμών
Οι φυσικοί αριθμοί, ανάλογα με τον αριθμό των ψηφίων τους, λέγονται:

    ονομασία      αριθμός ψηφίων    αριθμοί
μονοψήφιοι    έχουν 1 ψηφίο    0-9 
   διψήφιοι        έχουν 2 ψηφία    10-99 
     τριψήφιοι       έχουν 3 ψηφία    100-999
           τετραψήφιοι   έχουν 4 ψηφία     1.000-9.999

Εάν θεωρήσουμε του ακέραιους αριθμούς ως συλλογή μονάδων, καταλαβαίνουμε ότι μπορούμε να τους διαμορφώσουμε όλους, προσθέτοντας διαδοχικά τη μονάδα σε κάθε προηγούμενο αριθμό.

Μπορούμε έτσι να βάλουμε σε τάξη αυτό τον άτακτο σωρό αριθμών, κατατάσσοντας αυτούς σε σειρά, η οποία ονομάζεται φυσική σειρά των αριθμών.

 Στο μεταξύ βλέπουμε πως η φυσική αυτή σειρά των αριθμών είναι άπειρη, διότι σε κάθε -οσοδήποτε μεγάλο- αριθμό, μπορούμε να προσθέσουμε μονάδα, και έτσι να μορφώσουμε άλλον αριθμό.

 Ώστε αν κάποιος έδινε σε κάθε αριθμό όνομα ιδιαίτερο,  η αριθμητική γλώσσα θα περιείχε περισσότερες λέξεις από κάθε άλλη. 



--
Κατορθώθηκε λοιπόν να αποφύγουμε τη δυσκολία αυτή με απλούστατες συνθήκες, τις οποίες θα αναπτύξουμε.

9. Δημιουργία 0-10
Εάν στη μονάδα [θεωρούμενη ως την απλούστατη όλων των ακέραιων αριθμών] προσθέσουμε άλλη μονάδα, γίνεται ο ακόλουθος αριθμός, τον οποίο συμφώνησαν οι δημιουργοί του συστήματος αρίθμησης να ονομάζουν δύο.
Εάν τον δύο αυξήσουμε πάλι κατά μονάδα, γίνεται ο αριθμός τρία, από τον τέσσερα γίνεται ο πέντε και έτσι έως τον αριθμό δέκα.

10.Δημιουργία 10-99
Τον αριθμό δέκα θεώρησαν ως μονάδα νέα δεύτερης τάξης, από την οποία διαμόρφωσαν άλλους τόσους αριθμούς με τον ίδιο τρόπο, δηλαδή δεκάδες: δύο δεκάδες, τρείς δεκάδες, τέσσαρες δεκάδες....εννέα δεκάδες, και τις ονόμασαν είκοσι, τριάντα, σαράντα, πενήντα εξήντα, εβδομήντα ογδόντα, εννενήντα.
Προέκυψε το όνομα τους με το όνομα της μονάδας και την κατάληξη -ντα εκτός του δέκα και του είκοσι για γραμματικούς λόγους.
Τους μεταξύ των δεκάδων αριθμούς δηλαδή του αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ της δεύτερης τάξης μονάδες -τις δεκάδες- τους έκαναν σύνθετους από μονάδες δεύτερης τάξης και μονάδες απλές, ενώ τους ονόμασαν με το σύνθετο όνομα που προκύπτει από τα δύο ονόματα των μονάδων δεύτερης και πρώτης τάξης όπως  δέκα-τρία δέκα-τέσσερα -εκτός των [έν-δέκα=ένα+δέκα και δώ-δεκα =δύο+δέκα] που για γραμματικούς λόγους μπήκε μπροστά το όνομα της μονάδας πρώτης τάξης].
Κατ' αυτόν τον τρόπο εσχημάτισαν τα ονόματα των αριθμών ως τον εννενήντα εννέα.

11.Δημιουργία 100-999
Στον τελευταίο αυτό αριθμό -99- αν προσθέσουμε μια ακόμη μονάδα, γίνεται ο αριθμός δέκα δεκάδες που ονομάζουμε εκατό.Τον αριθμό αυτό τον θεώρησαν ως 
--
μονάδα τρίτης τάξης και αφού επανέλαβαν , όπως και στην δεκάδα, εσχημάτισαν τους αριθμού δύο εκατοντάδες, τρείς εκατοντάδες, τέσσαρες.....εννιά που ονομάστηκαν διακόσια, τριακόσια, τετρακόσια,πεντακόσια, εξακόσια, επτακόσια, οκτακόσια, εννιακόσια, αντίστοιχα προσθέτοντας στο όνομα αριθμού την κατάληξη -όσια.
Τους ανάμεσα στις εκατοντάδες αριθμούς τους σχημάτισαν με τη συνύπαρξη μονάδων:
 πρώτης τάξης -απλές- 
δεύτερης τάξης -δεκάδες- 
τρίτης τάξης -εκατοντάδες- 
Έτσι σχημάτισαν τους αριθμούς έως τον εννιακόσια εννενήντα εννέα 999 στον οποίο προσθέτωντας τη μονάδα έκαναν τον αριθμό  δέκα εκατοντάδες που ονομάστηκε χίλια.
Αυτός ο αριθμός ονομάστηκε μονάδα τέταρτης τάξης από την οποία σχηματίστηκαν αριθμοί όπως με την απλή μονάδα.
Αυτή η παραγωγική διαδικασία και η ονομασία των αριθμών είναι άπειρη οπότε 


Ενώ την ονομασία του κάθε αριθμός τέτοιος την πήρε από την σύνθεση των ονομάτων των μονάδων κάθε τάξης.
εκατόν δέκα έξι =116

Εδώ το μηδέν κρατάει τη θέση της αντίστοιχης τάξης μονάδας αλλά δεν εμφανίζεται στην ονομασία:
εκατόν - έξι= 106

Η αξία θέσης
Το ίδιο ψηφίο, ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό, δηλώνει
μονάδες (Μ), δεκάδες (Δ) ή εκατοντάδες (Ε)
μονάδες χιλιάδων (ΜΧ), δεκάδες χιλιάδων (ΔΧ) ή εκατοντάδες χιλιάδων (ΕΧ)
μονάδες εκατομμυρίων (ΜΕ), δεκάδες εκατομμυρίων (ΔΕ)εκατοντάδες εκατομμυρίων (ΕΕ)  
μονάδες δισεκατομμυρίων (ΜΔ),δεκάδες δισεκατομμυρίων 
--
(ΔΔ), εκατοντάδες δισεκατομμυρίων(ΕΔ)
μονάδες τρισεκατομμυρίων (ΜΤ) κτλ. 

Για παράδειγμα, το ψηφίο 2 
 – στον αριθμό 102 φανερώνει μονάδες,
  – στον αριθμό 6.020 φανερώνει δεκάδες (2 = 20 μονάδες), ενώ
 – στον αριθμό 548.281 φανερώνει εκατοντάδες (2 = 200 μονάδες).


Το ψηφίο μηδέν (0) δε διαβάζεται, αλλά γράφεται για να κρατά τα άλλα ψηφία στη σωστή τους θέση. Δηλώνει ότι λείπουν οι μονάδες της θέσης που κατέχει.

12.Οι τελείες διαχωρισμού
Στους αριθμούς που έχουν περισσότερα από τρία ψηφία, για λόγους ευκολίας στην ανάγνωση, χωρίζουμε με μία τελεία κάθε τριάδα ψηφίων αρχίζοντας δεξιά, από τις μονάδες.

7015902            7.015.902 

13.Το ελληνικό σύστημα αρίθμησης
Οι Έλληνες στην αρχαιότητα έγραφαν όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 999 με γράμματα του αλφαβήτου και με τη βοήθεια σημείων στίξεως, τα οποία ήταν: 
α' β γ' δ´ ε´ ϛ´ ζ´ η´ θ´    τους αριθμούς     1 2 3 4 5 6 7 8 9         αντίστοιχα
ι΄ κ΄ λ΄ μ΄ ν΄ ξ΄ ο΄ π΄ Ϟ΄     τους αριθμούς     10 20 30 ...  90            αντίστοιχα

ρ΄ σ΄ τ΄ υ΄ φ΄ χ΄ ψ΄ ω΄ ϡ΄  τους αριθμούς     100 200 300 ...  900     αντίστοιχα

,α ,β ,γ ,δ ,ε ,ς ,ζ ,η ,θ       τους αριθμούς     1000 2000 3000  9000  αντίστοιχα

Το Ϝ´ (δίγαμμα) χρησιμοποιείτο ως έξι στην αρχαιότητα. Αντικαταστάθηκε από το στίγμα (ϛ) . 

Τις τελευταίες δεκαετίες το στίγμα εξαφανίστηκε από το γραπτό λόγο  και τη θέση του ως αριθμητικού πήρε το στ΄. 

Το σύμβολο ϟ   -90- ονομαζόταν κόππα και είχε επίσης αντικαταστήσει το αντίστοιχο γράμμα ϙ που είχε περιέλθει σε αχρηστία. 

Το σύμβολο ϡ  -900- ονομάζεται σαμπί



     
--        


Ξεκινώντας από αυτό το σύστημα γραφής, οι πιο σύνθετοι αριθμοί γράφονταν ως σειρά γραμμάτων έτσι, ώστε το άθροισμα να μας δίνει τον συγκεκριμένο αριθμό. Τα γράμματα γράφονταν και διαβάζονταν από τα αριστερά προς τα δεξιά.
παραδείγματα
Ο αριθμός 153 γραφόταν (ρνγ).
Ο αριθμός 780 γραφόταν (ψπ).
Ο αριθμός 306 γραφόταν (τς).
Οι χιλιάδες (1000, 2000 κλπ) εκφράζονταν με τα ίδια γράμματα όπως οι εννιά μικροί αριθμοί, είχαν όμως για διακριτικό την κεραία πριν και κάτω του γράμματος.
Παραδείγματα
Το (,δ) σήμαινε 4.000, ενώ
το 1823 γραφόταν (,αωκγ) και
το (,αζ) σήμαινε 1.007.
Ο Διόφαντος έγραφε τον αριθμό 3.069.000 ως (,,τ,ς,θ) 

Φαίνεται έτσι ότι το ελληνικό αλφάβητο είχε 27 γράμματα 
που ήταν και αριθμητικά ψηφία - σύμβολα:
εννέα για τις μονάδες
εννέα για τις δεκάδες
εννέα για τις εκατοντάδες
εννέα για τις χιλιάδες ενώ για τα υπόλοιπα χρησιμοποιούνταν σημεία στίξης που διαφοροποιούσαν την αξία στα προηγούμενα. 




--
18.Περί πράξεων εν γένει
Επειδή οι αριθμοί ως ποσότητες, είναι δεκτικοί αυξήσεως και ελαττώσεως έπεται ότι οι δύο αρχικές πράξεις μπορούν να γίνουν επ'αυτών, η μεν πρώτη είναι να τους αυξήσουμε με τη πρόσθεση σε αυτόν άλλον ή άλλους , η δε δεύτερη είναι να τους ελαττώσουμε αφαιρώντας από αυτόν μονάδες άλλου ή άλλων αριθμών.

19.πρόσθεση
Όταν πρόκειται να ενώσουμε προσθέτοντας πολλούς αριθμούς σε έναν, το καταφέρνουμε αν εννοήσουμε κάθε αριθμό αναλυμένο στα συστατικά του στοιχεία, τις μονάδες διαφορετικής τάξης, και συνεχίζουμε προσθέτοντας αυτές, κατά σειρά στις αντίστοιχης τάξης στον πρώτο αριθμό.
Η πράξη αυτή ονομάζεται πρόσθεση.

20.Πολλαπλασιασμός 
Υπάρχει μια ειδική περίπτωση πρόσθεσης, όπου οι δύο ή παραπάνω αριθμοί που προστίθενται είναι μεταξύ τους ίσοι. Σε αυτή την ειδική πρόσθεση ίσων αριθμών λέμε ότι ο αριθμός αυξάνεται όσες φορές προστίθεται ίσος του. Αυτή η πράξη ονομάζεται πολυπλασιασμός ή πολλαπλασιασμός.

21.αφαίρεση
Όταν πρόκειται να συγκρίνουμε δύο αριθμούς μεταξύ τους τούτο γίνεται κατά δύο τρόπους α)ζητούμε πόσες μονάδες έχει περισσότερες ο ένας από τον άλλο, το οποίο γίνεται αν βγάλουμε από τον πρώτο τις μονάδες του δεύτερου και βρούμε τι μένει. Αυτό το λέμε αφαίρεση

22.διαίρεση
β)στη δεύτερη περίπτωση σύγκρισης αριθμών έχουμε μια ειδική περίπτωση αφαίρεσης: από έναν αριθμό αφαιρούμε  αριθμό από μία ή παραπάνω φορές και μας ενδιαφέρει να 




--
δούμε πόσες φορές περιέχει ο πρώτος τον δεύτερο. Αυτό το κάνουμε αν βγάλουμε από τον πρώτο εφόσον είναι δυνατό τις μονάδες του δεύτερου. Αυτή τη πράξη τη λέμε διαίρεση.

23.οι πράξεις και τα σύμβολα τους
Ουσιαστικά οι πράξεις των αριθμών είναι δύο: πρόσθεση και αφαίρεση ή αύξηση και μείωση, αφού πολλαπλασιασμός και διαίρεση είναι ειδικές περιπτώσεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης αντίστοιχα.

Χρηστικά όμως είναι τέσσαρες οι πράξεις που χρησιμοποιούμε:
Πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, αφαίρεση, διαίρεση τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε είναι:

πρόσθεση + [σύν]

πολλαπλασιασμός  x  [επί] ή το . [επί]

αφαίρεση - [μείον]

διαίρεση : [δια]

χρησιμοποιούμε επίσης για το αποτέλεσμα της πράξης το σύμβολο της ισότητας δυο αριθμών
= [ίσον]

24. πίνακες- προπαίδεια
Είναι απαραίτητη η απόλυτη εξοικείωση με τους πίνακες  πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, αφαίρεσης, διαίρεσης.
ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΩΝ

Οι πίνακες είναι κατάλογοι με τα αποτελέσματα από τις πράξεις μέχρι και τον 12 ώστε να μας βοηθούν στην εξάσκηση της απομνημόνευσης των έτοιμων αποτελεσμάτων των πράξεων αυτών.
Αυτό γίνεται επειδή 
η ταχύτητα και ακρίβεια στην πρόσθεση, την αφαίρεση, το πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση διευκολύνει τη 
--
καθημερινότητα μας σε υπέρμετρο βαθμό αφού κάθε πτυχή της ζωής μας σχετίζεται με ποσότητες σε χρήματα σε μήκη, σε εμβαδά, σε όγκους, σε βάρη κλπ.
Η μεγάλη άνεση σε αυτά κάνει τον έμπορο και τον αγοραστή να κερδίζει και να μη χάνει στις συναλλαγές του με τους άλλους.




25.Η πρόσθεση 
Δια της πρόσθεσης ενώνουμε πολλούς γνωστούς αριθμούς σε έναν που περιέχει τις μονάδες τους. Το εξαγώμενο της πράξεως αυτής ονομάζεται άθροισμα ή κεφάλαιο.

26.η πρόσθεση μονάδων ή μονοψήφιων αριθμών
Όταν μεν οι προσθετέοι αριθμοί έχουν ένα μόνο ψηφίο, προσθέτουμε πρώτα τις μονάδες των δύο πρώτων και το άθροισμα τους με τον τρίτο και έτσι στην συνέχεια.
πχ. η πρόσθεση 5+7+4=16
γίνεται σταδιακά 5+7=12 και 12+4=16

27.η πρόσθεση πολυψήφιων αριθμών
Αν όμως έχουν πολλά ψηφία ο καθένας τους μεταχειριζόμαστε τον ακόλουθο κανόνα:
1)γράφουμε τους αριθμούς τον ένα κάτω απο τον άλλο έτσι ώστε να είναι σε στήλες οι μονάδες με τις μονάδες οι δεκάδες με τις δεκάδες οι εκατοντάδες με τις εκατοντάδες κλπ
2)Τραβάμε μια οριζόντια γραμμή κάτω από τον τελευταίο προσθετέο που διαχωρίζει τους προσθετέους από το άθροισμα τους. Πάνω από τη γραμμή και αριστερά της βάζουμε το σύμβολο της πρόσθεσης.
3)Βρίσκουμε το άθροισμα των μονάδων, εάν όμως περιέχει και δεκάδες τότε γράφουμε το άθροισμα των μονάδων που δεν σχηματίζουν δεκάδα και προσθέτουμε τις δεκάδες που σχηματίστηκαν στις υπάρχουσες.
4)Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε το άθροισμα των δεκάδων κι όταν σχηματίζουν εκατοντάδες τις προσθέτουμε στις 
--
υπάρχουσες έτσι κάνουμε με κάθε τάξης μονάδες.
παράδειγμα:

  463    προσθετέος α
+362    προσθετέος β     
  825     άρθοισμα α+β

μονάδες 3+2=5 ,
δεκάδες 6+6=12 [γράφουμε το 2 και τη μία δεκάδα δεκάδες τη κρατάμε για τις εκατοντάδες]
εκατοντάδες 4+3+1[των δεκάδων]=8

'Ετσι προκύπτει το 8 2 5 (οκτακόσια, είκοσι, πέντε).


28.επεξήγηση πρόσθεσης με παράδειγμα:
 όταν πρόκειται να προσθέσω τους τρεις αριθμούς
  6087 , 9198 , 483
γράφω καθένα κάτω από τον άλλο ώστε να ταιριάζουν σε στήλες οι μονάδες οι δεκάδες οι εκατοντάδες οι χιλιάδες κλπ

  6.087
  9.198
+  483
15.768
μονάδες:    7+8+3=18 γράφουμε 8 και κρατάμε το 1 για τις δεκάδες
δεκάδες:     8+9+8+[1 των μονάδων]=26 γράφουμε 6 και κρατάμε το 2 για τις εκατοντάδες
εκατοντάδες:4+1+[2 των δεκάδων]= 7
χιλιάδες: 6+9=15
Έτσι έχουμε άθροισμα 15.768 
(δεκαπέντε χιλιάδες, επτακόσια εξήντα οκτώ)

29.σημαντική παρατήρηση για τη πρόσθεση
Όταν η προσθετέοι είναι συγκεκριμένοι πρέπει να είναι ομοειδείς να έχουν δηλαδή την ίδια μονάδα μέτρησης διότι κάθε αριθμός θεωρείται ότι έγινε από την επανάληψη της 
--
ίδιας μονάδας.

30.η αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών
Η αφαίρεση είναι πράξη με την οποία, όταν μας δίνονται δύο αριθμοί βρίσκουμε πόσο ο ένας υπερβαίνει τον άλλο. Το οποίο γίνεται αν από τον πρώτο βγάλουμε όσες μονάδες περιέχει ο δεύτερος. Αυτό είναι δε ευκολότατο, όταν και οι δύο γράφονται με ένα ψηφίο πχ
7-4=3
ο επτά ονομάζεται μειωτέος
ο τέσσαρα ονομάζεται αφαιρετέος
ο τρία υπόλοιπο ή διαφορά

31.η αφαίρεση αριθμών με πολλά ψηφία
Όταν ο μειωτέος και ο αφαιρετέος γράφονται με πολλά ψηφία μεταχειριζόμαστε τον ακόλουθο κανόνα:
1)γράφουμε τον αφαιρετέο κάτω από τον μειωτέο όπως και στη πρόσθεση ώστε να ταιριάζουν σε στήλες οι μονάδες διαφόρων τάξεων μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες κλπ
2)τραβάμε μια γραμμή οριζόντια κάτω από τον αφαιρετέο και στην αριστερή άκρη βάζουμε το σύμβολο της αφαίρεσης το μείον - έτσι ξεχωρίζει το υπόλοιπο ή διαφορά 
3)ξεκινάμε πάντα από τις μονάδες αν είναι λίγες του μειωτέου ή μηδενικές παίρνουμε δανεικές δέκα μονάδες από τις δεκάδες ή γενικά από την επόμενη τάξη μονάδων.
παράδειγμα:
 695
-243
 452
μονάδες  5-3=2
δεκάδες  9-4=5
εκατοντάδες 6-2=4
υπόλοιπο 4 5 2 (τετρακόσια πενήντα δύο)

32.η περίπτωση μικρότερου αριθμού μονάδων μειωτέου
όταν κάποιο ψηφίο του αφαιρετέου είναι μεγαλύτερο του μειωτέου δανειζόμαστε από της επόμενης τάξης μονάδες, αν λόγου χάρη οι μονάδες του μειωτέου είναι λίγες 
--
παίρνουμε μια δεκάδα μονάδες κι αφαιρούμε από τις δέκα επιπλέον μονάδες αλλά αφαιρούμε και τη δανεική από τις δεκάδες όπως φαίνεται εδώ;
 121
-119
     2
1+10[δανεική δεκάδα]=11
11-9=2
δεκάδες 2-1=1 -1 [δανεική δεκάδα]=0
εκατοντάδες  1-1=0
υπόλοιπο 2
στη περίπτωση που είναι μηδενικές έχουμε ακριβώς την ίδια μέθοδο της δανεικής δεκάδας
 120
-111
     9
μονάδες 0+10[δανεική δεκάδα μονάδων]=10, 10-1=9
δεκάδες  2-1=1 ,  1-1[δανεική δεκάδα μονάδων]=0
εκατοντάδες 1-1=0
υπόλοιπο 9

33.σημαντική παρατήρηση για την αφαίρεση
και στην αφαίρεση οι δεδομένοι αριθμοί, όταν είναι συγκεκριμένοι, πρέπει αν είναι ομοειδείς μεταξύ τους. Η διαφορά πρέπει να είναι τέτοια ώστε προστιθέμενη στον αφαιρετέο να αποτελεί τον μειωτέο.

34.η επαλήθευση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης

Επειδή συχνά στις πράξεις ενδέχεται  να σφάλουμε για τούτο χρειαζόμαστε άλλη αντίστροφη πράξη , δια της οποίας να δοκιμάζουμε την ακρίβεια του εξαγομένου της πρώτης και αυτό επιτυγχάνεται με τη πράξη που ονομάζουμε επαλήθευση [δοκιμή ή βάσανος παλιότερα]
Για την μεν πρόσθεση η αντίστροφη της είναι η αφαίρεση άρα από το άθροισμα αφαιρούμε τον ένα προσθετέο για να βρούμε το δεύτερο αν βγει άλλος σαν διαφορά τότε έχουμε λάθος.
Για τη δε αφαίρεση η αντίστροφη της είναι η πρόσθεση 
--
οπότε στη διαφορά προσθέτουμε τον αφαιρετέο και βρίσκουμε τον μειωτέο αν όχι τότε έχουμε λάθος.
Γενικά όμως οι καλύτερες δοκιμές κι επαληθεύσεις λέγονται προσοχή κι επανάληψη.

35.ο πολλαπλασιασμός

Όταν έχουμε έναν αριθμό που προστίθεται στον εαυτό του επανειλημμένα η πράξη συντομεύεται σημαντικά με τον πολλαπλασιασμό.
Ας δούμε μια τέτοια περίπτωση:
Αν σε ένα περιβόλι υπάρχουν επτά σειρές δέντρα και κάθε σειρά έχει δώδεκα δέντρα, για να βρούμε το σύνολο των δέντρων που υπάρχουν μπορούμε να προσθέσουμε
12+12+12+12+12+12+12=84 [7φορές το 12]
ή 
7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7=84 [12φορές το 7]
με το πολλαπλασιασμό γίνονται:
12 x 7=84 
[12 φορές το 7 ή 12 επί 7 ίσον ογδόντα τέσσερα]
ή 
7 x 12=84
 [7 φορές το 12 ή 7 επί 12 ίσον ογδόντα τέσσερα]

όπως φαίνεται η συντόμευση είναι αισθητή.

στον πολλαπλασιασμό α x β= γ
το α λέγεται πολλαπλασιαστής
το β λέγεται πολλαπλασιαζόμενος
οι α, β λέγονται και παράγοντες του πολλαπλασιασμού
το γ λέγεται γινόμενο


36.Οι τρείς περιπτώσεις πολλαπλασιασμού
Τρείς περιπτώσεις πολλαπλασιασμού διακρίνουμε:
1)όταν και οι δύο παράγοντες είναι μονοψήφιοι αριθμοί
2)όταν ο ένας είναι μονοψήφιος κι ο άλλος πολυψήφιος
3)όταν και οι δύο είναι πολυψήφιοι αριθμοί

--
37.οι μονοψήφιοι παράγοντες
Στην πρώτη περίπτωση όπου είναι δηλαδή μονοψήφιοι αριθμοί και οι δύο παράγοντες καμία δυσκολία δεν έχουμε, αρκεί να συμβουλευτούμε ή ακόμη καλύτερα να θυμόμαστε τον Πυθαγορικό πίνακα ή Κεφαλισμό που μας δίνει τα γινόμενα μεταξύ των οριζόντιων αριθμών και κάθετων αν ενώσουμε όπως στο σχήμα βλέπουμε ότι για παράδειγμα ο 7 και 5 αν πολλαπλασιαστούν δίνουν 35.




38.ο ένας παράγοντας πολυψήφιος
Στη δεύτερη περίπτωση  δεν χρειαζόμαστε άλλο εφόδιο από τον Πυθαγορικό πίνακα ή Κεφαλισμό, αφού θα κάνουμε σταδιακά τις επιμέρους πράξεις με τον πολλαπλασιαστή και τις μονάδες, τις μονάδες δεκάδων και εκατοντάδων κλπ και θα τις αθροίσουμε .
Για να γίνεται πιο εύκολα ο διαχωρισμός των αξιών τους και της τάξης μονάδων που ανήκουν τους βάζουμε κλιμακωτά σαν να είχαν στο τέλος του το μηδενικό της αξίας τους όπως φαίνεται εδώ στη πλήρη μορφή:
 --

1781
 X    7
                                       7        7x1=7   μονάδες
                                   560       7x8=56 δεκάδες    
                                       4900       7x7=49 εκατοντάδες
                                +7000       7x1=7   χιλιάδες
 12467
Για να εξοικονομούμε χρόνο πάψαμε να βάζουμε τα μηδενικά αφού κρατήσαμε τη κλιμακωτή θέση που δίνει την αξία του κάθε αριθμού.
'Ετσι για λόγους οικονομίας η πράξη γίνεται:
  1781
 X    7
                                        7        7x1=7    μονάδες
                                      56         7x8=56  δεκάδες    
                                        49         7x7=49  εκατοντάδες
                                +7             7x1=7   χιλιάδες
12.467



39.Mια πολύ σημαντική παρατήρηση
 για τους αριθμούς 10,100,1000,10.000 και γενικά με συστατικά τον ένα και μηδενικά όταν πολλαπλασιάζονται με αριθμό του προσθέτουν απλά την αξία τους τα μηδενικά τους δηλαδή
πχ  3x10=30
     3x100.000=300.000
Αυτή η ιδιότητα μας βοηθάει σαν τέχνασμα στον πολλαπλασιασμό των πολυψήφιων -όπως θα δούμε στη συνέχεια- κρατώντας τα μηδενικά έξω από τις πράξεις για λίγο και προσθέτοντας τα στο τέλος της.
     3x1(0=3(0
     3x1(00.000=3(00.000

41. Πολυψήφιοι παράγοντες.
 Στην τρίτη περίπτωση πολλαπλασιασμού, όπου οι παράγοντες είναι πολυψήφιοι αριθμοί, ακολουθούμε τη 
--
μέθοδο της ανάλυσης σε πιο εύκολα τμήματα, δηλαδή σε απλούστερης κατηγορίας πολλαπλασιασμούς, όπου ο ένας ο πολλαπλασιαστέος πολλαπλασιάζεται με τις μονάδες  κάθε τάξης του πολλαπλασιαστή: μονάδες απλές, μονάδες δεκάδων και μονάδες εκατοντάδων, χιλιάδων , ή ότι άλλο. 

Εκμεταλλευόμαστε  δηλαδή αυτό που λέγαμε για το τέχνασμα με τα μηδενικά αφού κάθε  αριθμός
αναλύεται σε μονάδες δεκάδες εκατοντάδες κι αυτές σε μονάδες και μηδενικά που δηλώνουν τη τάξη της αξίας τους.

Έτσι έχουμε
 3   μονάδες
30=3 Χ 10=3 X 1(0

300=3 X 100=3 X 1(00
30.000.000=3 X 10.000.000 =3 X 1(0.000.000

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα για να δούμε όλα αυτά μαζί πως συνεργάζονται:
 πχ  986 x 743

βήμα πρώτο: γράφουμε καταρχήν όπως είπαμε για τη δεύτερη κατηγορία πολλαπλασιασμού 
         986
  x     743   

 βήμα δεύτερο: αναλύουμε σε απλούστερες μορφές πολλαπλασιασμού με μονοψήφιο αριθμό:
          986               986            986
   x        3              x    4(0        x   7(00
           18                  24              42
       24                  32              56
   27                  36              63                   
           2958              3944(0        6902(00
   
βήμα τρίτο: τελικά προσθέτουμε τα επιμέρους αποτελέσματα  
--

τα γινόμενα

       2958                              986 x  3 
        39440                              986 x  4 (0
 +     690200                              986 x  7 (00
      732.598                             986 x  743

Ολοκληρωμένη η μορφή του πολλαπλασιασμού με όλες τις επιμέρους τεχνικές 
         986
Χ       743 
        2958 
   3944
6902
    732.598
Χρησιμοποιούμε λοιπόν τέσσερα τεχνάσματα:
α)του κανόνα του πολλαπλασιασμού με βάση τον Πυθαγορικό πίνακα
β)του κανόνα του μονοψήφιου πολλαπλασιαστή
γ)της ανάλυσης του πολλαπλασιαστή σε μονάδες δεκάδες εκατοντάδες κλπ
δ)της ανάλυσης των δεκάδων εκατοντάδων κλπ σε μονάδες και μηδενικά που τα βάζουμε στο τέλος της 
πράξης.
2X1(0)=2(0)=20

Συνολικά η πράξη του πολλαπλασιασμού με τα τεχνάσματα που αναλύσαμε φαίνονται εδώ:
   986
Χ 743
  2958
 3944.
6902..
732.598  

42.Η διαίρεση
Δια της διαιρέσεως βρίσκουμε πόσες φορές κάποιος 

--
αριθμός εμπεριέχεται σε άλλον, και επειδή εμπεριέχεται τόσες φορές όσες μπορεί να αφαιρεθεί, έπεται ότι η διαίρεση είναι πράξη μέσω της οποίας κάνουμε αυτές τις αφαιρέσεις.
Είναι λοιπόν η διαίρεση ο τρόπος που βρίσκουμε εύκολα πόσες φορές ένας αριθμός ονομαζόμενος διαιρετέος περιέχει άλλον ονομαζόμενο διαιρέτη, το δε εξαγόμενο ονομάσθηκε πηλίκο.
πχ 24:3=8 όπου το 24 είναι διαιρετέος το 3 διαιρέτης
και το 8 πηλίκο

43.η διαίρεση ως τεχνική εύρεσης παράγοντα
Ο διαιρέτης περιέχεται στον διαιρετέο τόσες φορές όσες η μονάδα περιέχεται στο πηλίκο.
 Εάν τώρα γίνει ο πολλαπλασιασμός του διαιρέτη με το πηλίκο θα αποτελέσει γινόμενο ίσο με το διαιρετέο.
Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε τη διαίρεση και σαν πράξη, δια της οποίας όταν μας δοθεί ένα γινόμενο και ένας των παραγόντων αυτού, βρίσκουμε τον άλλο παράγοντα μέσω του πυθαγορικού πίνακα.
στο παράδειγμα με το 35 αν 35:5 βλέπουμε πως ο άλλος παράγοντας είναι το 7



--

44.Τρεις περιπτώσεις διαίρεσης
1.όταν ο διαιρετέος δεν έχει περισσότερο ψηφία από 2, ο δε διαιρέτης μόνο ένα.
2.όταν ο μεν διαιρέτης έχει πολλά ο δε διαιρετέος μόνον ένα.
3.όταν και οι δύο γράφονται με πολλά ψηφία.

45.Στην πρώτη περίπτωση μονοψήφιου ή διψήφιου με μονοψήφιο
ουδεμία δυσκολία συναντάμε αφού χρειάζεται να απομνημονεύσουμε τα γινόμενα των απλών μονάδων ή να συμβουλευτούμε το πυθαγορικό πίνακα όπως είδαμε πριν με το 35.

Ας δούμε ένα ακόμη παράδειγμα
έστω 56:8 
καταλαβαίνω ότι αν βρω το 56 στον πυθαγορικό πίνακα θα δω ότι είναι 8Χ7=56
αφού λοιπόν το 56 γίνεται αν βάλουμε το 8 επτά φορές θα έχουμε με αντίστροφη πορεία ότι το 8 χωράει επτά φορές στο 56
ώστε γράφουμε 56:8=7
Μπορούμε να γράψουμε επίσης 56/8=7 ή και 
  56=7
8
Ο πυθαγορικός πίνακας μας βοηθάει τόσο στη διαίρεση όσο και στον πολλαπλασιασμό.
Μάλιστα μπορούμε να φτιάξουμε πυθαγορικό πίνακα και με διψήφιους  ώστε να εξασκηθούμε και σε πιο δύσκολες πράξεις.

46.Μη ακριβές πηλίκο
ενίοτε δε βρίσκουμε ακριβές πηλίκο όπως στο 35 δια 8 όπου βλέπουμε ότι ο διαιρέτης περιέχεται περισσότερο από 4 λιγότερο όμως από 5 επομένως το πηλίκο βρίσκεται μεταξύ δύο ακεραίων εδώ μεταξύ του 4 και του 5.
Σε αυτή τη περίπτωση γράφουμε στο πηλίκο τον μικρότερο των δύο αριθμών μεταξύ βρίσκεται το όλο πηλίκο το δε 
--
υπόλοιπο μη δυνάμενοι να το διαιρέσουμε αλλιώς σημειώνουμε μόνο ότι πρέπει να διαιρεθεί και το γράφουμε πλησίον του πηλίκου για να το καταστήσουμε το πηλίκο πλήρες.
πχ 35:8=4 3/4
     16:5=3 1/5
     11:4=2 3/4

47.οι συστατικές πράξεις της διαίρεσης
Παρατηρούμε ότι η διαίρεση συνίσταται από τρείς μερικότερες πράξεις
1)ζητάμε πόσες φορές ο διαιρετέος περιέχει το διαιρέτη για να βρούμε το πηλίκο
2)πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη με το πηλίκο για να βρούμε το γινόμενο.
3)αφαιρούμε το γινόμενο από το διαιρετέο για να βρούμε το υπόλοιπο


48.πολυψήφιος διαιρετέος
Όταν δε ο διαιρετέος περιέχει πολλά ψηφία, επειδή δια μιας δεν μπορούμε να τον διαιρέσουμε, θεωρούμε λοιπόν τον αριθμό χωρισμένο σε μέρη, όχι μικρότερα του διαιρετέου και έτσι διαιρούμε κάθε ένα από αυτά τα μέρη. Έπειτα δε συνάπτουμε τα μερικά πηλίκα και έχουμε το όλο πηλίκο.Εάν μενο διαιρέτης έχει μόνο ένα ψηφίο η διαίρεση γίνεται εύκολα με τον ακόλουθο κανόνα.
1)ζητώ πόσες φορές ο διαιρέτης περιέχεται στο πρώτο προς τα αριστερά ψηφίο του διαιρετέου[7] ή στα δύο πρώτα αν το πρώτο είναι μικρότερος αριθμός του διαιρέτη. Ο δε αριθμός[2] ο οποίος εκφράζει πόσες φορές χωράει μπαίνει στο πηλίκο.
Το πηλίκο είναι της ίδιας τάξης με τον μερικό διαιρετέο οπότε μπαίνει σε αντίστοιχη θέση.
2)γράφω το ψηφίο[2] αυτό ως πρώτο στο πηλίκο, έπειτα πολλαπλασιάζω το διαιρέτη που γράφεται δεξιά [3] [2χ3=6]και βάζω το αποτέλεσμα[6] κάτω από το μερικό διαιρετέο [7] για να βρω το μερικό υπόλοιπο.
3)αφαιρώ το γινόμενο τούτο [6] από το μερικό διαιρέτη[7] 
--
[7-6=1]και το υπόλοιπο [1]το γράφω κάτω από τη γραμμή που τραβάω.Έπειτα επαναλαμβάνω με τον ίδιο τρόπο έως ότου να τελειώσω διαιρώντας όλα τα ψηφία του διαιρετέου.

49.εφαρμογή του κανόνα διαίρεσης
Ας δούμε στην εφαρμογή βήμα-βήμα τα 1,2,3

 διαιρετέος            7953 ½   3  διαιρέτης
                        6           2  πηλίκο
1

επανάληψη βημάτων 1,2,3  
       
       7953 ½3
         6        26
19
18
   1
επανάληψη βημάτων 1,2,3

        7953½3
             6       2651
19    
18
     15
     15
        0
Το μηδέν λέγεται υπόλοιπο ή κατάλοιπο
αν είναι άλλος αριθμός εκτός του μηδέν η διαίρεση δεν είναι τέλεια. Εδώ η διαίρεση είναι τέλεια και λέμε 7953:3=2651

50.δοκιμή ή επαλήθευση διαίρεσης
Αν πολλαπλασιάσουμε το 2651 με το διαιρέτη 3 βρίσκουμε τον διαιρετέο 7953, αυτή η αντίστροφη πράξη είναι και δοκιμή ή επαλήθευση της διαίρεσης.
 Αν το γινόμενο είναι διαφορετικό τότε κάναμε λάθος. Η δοκιμή της διαίρεσης επομένως είναι ο πολλαπλασιασμός.

--
51.πολυψήφιοι όροι διαίρεσης
Εάν τέλος και διαιρέτης και διαιρετέος είναι πολυψήφιοι αριθμοί αφού τοποθετήσω όπως στο προηγούμενο παράδειγμα  το παρακάτω: 147.475:362

          147475   ½362 
        1448          4
26
για να γίνει το πρώτο βήμα τοποθετούμε τους αριθμούς διαιρετέο και διαιρέτη όπως εδώ.
Έπειτα λέμε πόσες φορές χωράει ο 362 στα τρία πρώτα ψηφία 147; Δεν χωράει άρα κατεβάζω ένα ακόμη το 4.
Έπειτα λέμε πόσες φορές χωράει ο 362 στον 1474;

Το βγάζουμε λέγοντας πόσες φορές χωράει το 3 στο 14
χρησιμοποιώντας τη βοήθεια των ψηφίων μηδέν που ισχύει και για τη διαίρεση
1400:300=[14(00]:[3(00]=[14:3]00
χωράει 4 και μένουν 2
λέμε τώρα 362Χ4=1448 

Μετά αφαιρούμε από το μερικό διαιρετέο 1474 το γινόμενο πηλίκου και διαιρετέου 1448 και έχουμε το μερικό υπόλοιπο
 1474
-1448
      26
τραβάμε μια γραμμή και το γράφουμε από κάτω.
Συνεχίζουμε με την επανάληψη των βημάτων 1,2,3 μέχρι να βρούμε το υπόλοιπο που δεν χωράει το διαιρέτη.
έτσι τελικά βρίσκουμε
   147475    ½362
   1448         407
2675
2534
   141
--
εδώ η διαίρεση είναι ατελής δηλαδή μένει υπόλοιπο ή 
--
κατάλοιπο το 141 το οποίο σημειώνουμε δίπλα στο πηλίκο για να ξέρουμε ότι η διαίρεση δεν είναι τέλεια και το πηλίκο να είναι ολόκληρο. Το σημειώνουμε με τη μορφή 141/362 ή 141 
                362
οπότε το πλήρες πηλίκο εδώ είναι:
407 141
       362

52.Σημείωση περί μηδενικών
 Όταν ο διαιρετέος και ο διαιρέτης καταλήγουν σε μηδενικά μπορούμε να βρούμε το πηλίκο αφού αποκόψουμε ίσο αριθμό μηδενικών και συνεχίσουμε με τα υπόλοιπα ψηφία.
Πχ 7200:90=720:9=80
και 417.000:2500=4170:25=166  20/25

53.Περί αφηρημένων και συγκεκριμένων όρων
Όταν στη διαίρεση οι αριθμοί είναι συγκεκριμένοι ο διαιρέτης μπορεί να είναι συγκεκριμένος, μπορεί και να μην είναι. 
Όταν μεν είναι συγκεκριμένος πρέπει να είναι του ίδιου είδους με τον διαιρετέο, και τότε κυρίως δια της διαιρέσεως ζητείται πόσες φορές ο διαιρέτης εμπεριέχεται στο διαιρετέο. Το δε πηλίκο σε αυτή τη περίπτωση είναι αριθμός αφηρημένος του οποίου το είδος προσδιορίζεται από τη συνέχεια του προβλήματος.
Όταν όμως θεωρείται ως αφηρημένος, ζητείται δια της διαιρέσεως ο αριθμός που εμπεριέχεται τόσες φορές στον διαιρετέο όσο δείχνει ο διαιρέτης και τότε το πηλίκο είναι αριθμός συγκεκριμένος και του ιδίου είδους με τον διαιρετέο.

54.περιπτώσεις προβλημάτων όπου χρησιμοποιούμε τη διαίρεση.
πρόβλημα α. Αν ένα μέτρο υφάσματος έχει τιμή 25 ευρώ με 500 ευρώ πόσα μέτρα υφάσματος μπορώ να αγοράσω;


--

             Ευρώ   500 ô25    ευρώ/μέτρο
                50    20   μέτρα
0


     500 ô  25    
       50     20   
0

ή 500:25=20
η απάντηση λοιπόν είναι 20 μέτρα ύφασμα μπορούμε να αγοράσουμε

Πρόβλημα β. Έχουμε 23.000 λεπτά του ευρώ πόσα ευρώ αποτελούν, και πόσα δεκάευρα;
Σκεφτόμαστε ως εξής: κάθε 100 λεπτά έχουμε 1 ευρώ άρα αν διαιρέσουμε τα λεπτά που έχουμε με το διαιρέτη δηλαδή τα 100 λεπτά θα έχουμε τον αριθμό των ευρώ που αποτελούν.
γράφουμε

23000 100
 200      230
 300           
  300            
0       
 0        

ή γράφουμε
 23.000:100=[230(00]:[1(00]=230:1=230
η απάντηση λοιπόν στο πρώτο ερώτημα είναι 230 ευρώ

επίσης τα 230 ευρώ διαιρούνται με τα 10 ευρώ για να δούμε πόσα δεκάευρα γίνονται
230:10=[23(0]:[1(0]=23:1=23

η απάντηση λοιπόν στο δεύτερο ερώτημα είναι 23 δεκάευρα
--
Πρόβλημα γ. Πουλήθηκε κομμάτι τσόχας για 572 ευρώ, άλλο κομμάτι της ίδιας ποιότητας πουλήθηκε για 1014 ευρώ ήταν δε μεγαλύτερο κατά 17 μέτρα πόσο κόστισε το κάθε μέτρο; και πόσα μέτρα ήταν το πρώτο κομμάτι;
Σκεφτόμαστε ως εξής:
ποιο κομμάτι του υφάσματος γνωρίζουμε πόσο κοστίζει και πόσο μήκος έχει;
Η διαφορά των 17 μέτρων γνωρίζουμε ότι κοστίζει τη διαφορά μεταξύ του μεγάλου κομματιού και του μικρού ώστε
1014-572=442 ευρώ
άρα τα 17 μέτρα κόστισαν 442 ευρώ
το ένα μέτρο πόσο;
442:17=26

442    17
  34    26
102
102
   0
άρα το κάθε μέτρο κοστίζει 26 ευρώ
για να βρούμε πόσα μέτρα είναι το πρώτο κομμάτι που κόστισε 1014 αρκεί να διαιρέσουμε το κόστος του κομματιού με την τιμή για κάθε μέτρο [26] έτσι βρίσκουμε πόσα μέτρα αγοράστηκαν.
1014:26=39 

1014 26
  78    39
234 
234
0
η απάντηση λοιπόν είναι πως είναι 39 μέτρα το πρώτο κομμάτι.


55.η δοκιμή-επαλήθευση της διαίρεσης
η δοκιμή της διαίρεσης είναι ο πολλαπλασιασμός πηλίκου με διαιρέτη ώστε να βρούμε το διαιρετέο.
--
Παρατηρούμε ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι αντίστροφες αφού και οι δύο χρησιμοποιούν η μία την άλλη για δοκιμή.


56.Σημείωση
Παρατηρούμε ότι για κάθε μία από τις πράξεις πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση είναι δύο είδη εργασιών αφενός με ψηφία έως και δύο και αφετέρου με περισσότερα ψηφία.
Του μεν πρώτου είδους οι πράξεις μπορούν να γίνονται από μνήμης του δε δεύτερου είδους αναλύονται δια της μεθόδου της αριθμητικής σε πολλές του πρώτου είδους.
Η νεολαία είναι αναγκασμένη να εξασκήσει τη μνήμη της ώστε να κάνει εύκολα τις πράξεις του πρώτου είδους και να μπορεί να κάνει και του δεύτερου είδους με τη βοήθεια της μεθόδου της αριθμητικής. 
Για διευκόλυνση ο πυθαγορικός πίνακας όπου έχει έτοιμα τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού μας δίνει και τους διαιρέτη και διαιρετέο και πηλίκο αντίστροφα, με την αποστήθιση του δε, μας δίνει το κλειδί για πολλαπλασιασμό και διαίρεση.

57.περί του σχηματισμού σύνθετων και πρώτων αριθμών
Από τους ακέραιους αριθμούς οι μεν θεωρούνται ότι δημιουργήθηκαν από τον πολλαπλασιασμό δύο ή περισσοτέρων άλλων ακεραίων, όπως ο 15=5x3
o 12=2x2x3 και τέτοιου είδους αριθμοί λέγονται σύνθετοι ή πολυσχημάτιστοι. Άλλοι δε παράγονται από τον πολλαπλασιασμό μόνο της μονάδος όπως οι 2,3,5,7
που ονομάζονται πρώτοι.

58.οι σύνθετοι αριθμοί
Επειδή το κάθε γινόμενο είναι διαιρετό με καθένα των παραγόντων του έπεται ότι όλοι οι σύνθετοι αριθμοί διαιρούνται ακριβώς με άλλους ακέραιους από τους οποίους θεωρούνται παραγόμενοι. Για τούτο εκείνοι λέγονται διαιρέτες ή πολλοστά αυτών, οι δε πολλαπλάσιοι εκείνων. Οι λεγόμενοι πρώτοι αριθμοί δεν έχουν άλλον 
--
διαιρέτη παρά τον εαυτό τους και τη μονάδα.

59.Κοινοί διαιρέτες
Δύο ακέραιοι αριθμοί ενδέχεται και οι δύο να διαιρούνται εντελώς από πολλούς  και τους ίδιους αριθμούς. Όλοι δε αυτοί οι αριθμοί λέγονται κοινοί διαιρέτες αυτών των αριθμών.

Ο δε μεγαλύτερος αυτών είναι στη μαθηματική γλώσσα με το όνομα Μέγιστος κοινός διαιρέτης.
Δίνεται μεγάλη σημασία σε αυτά επειδή προκύπτουν από αυτά λύσεις όπως του προβλήματος:
Αν έχουμε ένα τοίχο 20 μέτρα μήκος με ύψος δύο μέτρα με τι είδους πλακάκι μπορούμε να τον επενδύσουμε χωρίς να χρειάζεται να κόψουμε τα πλακάκια σε λουρίδες;
Είναι δε ένα πολύ κοινό πρόβλημα με άπειρες παραλλαγές στη καθημερινή ζωή και στα λοιπά κατασκευαστικά και οικονομικά θέματα.

παράδειγμα μέγιστου κοινού διαιρέτη:
Ο 24 και ο 36 έχουν ίδιους διαιρέτες
οι διαιρέτες του 24 είναι 2,3,4,6,8 και 12 και
του 36 είναι 2,3,4,6,9,12 και 18 
άρα οι κοινοί είναι 2,3,4,6,12 από αυτούς μέγιστος είναι ο 12.
Υπάρχουν όμως αριθμοί οι οποίοι δεν έχουν κανένα κοινό διαιρέτη όπως για παράδειγμα το 9 και το 16 οι οποίοι λέγονται πρώτοι μεταξύ τους

60.η μέθοδος εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη
Για την ανάπτυξη του τρόπου που βρίσκουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη προαπαιτείται αν έχουμε κατά νου τις τρείς αρχές:
1)κάθε αριθμός που διαιρεί άλλον διαιρεί και τα πολλαπλάσια του όλα
2)κάθε αριθμός που διαιρεί δυο αριθμούς χωριστά διαιρεί και το άθροισμα τους
3)κάθε αριθμός που διαιρεί δύο αριθμούς διαιρεί και τη διαφορά τους

--
61.παράδειγμα εύρεσης μέγιστου κοινού διαιρέτη
 ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών 1104 και 336 είναι ο 48 ας δούμε πως τον βρίσκουμε
Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης και των δύο αριθμών πρέπει να είναι  όχι μεγαλύτερος του μικρότερου, αλλά ή ίσος ή μικρότερος του αυτό προκύπτει εξ ορισμού: κοινός διαιρέτης.
Για να το δοκιμάσω αυτό πρέπει να διαιρέσω τον 1104 δια του 336.
1104 336
1008    3
96
αφού δεν είναι δοκιμάζω μήπως είναι το 96
  336   96 
288    3
48 
δοκιμάζω και το νέο κατάλοιπο 48
  96   48
96  2
0
Βλέπουμε ότι το 48 διαιρεί τον 336 
διαιρεί και τον 1104 αφού
 διαιρεί και το πολλαπλάσιο του 336  1008[336Χ3] 
και το κατάλοιπο της διαίρεσης 1104:336 το 96
σύμφωνα δε με το δεύτερο κανόνα κάθε αριθμός που διαιρεί δύο αριθμούς χωριστά διαιρεί και το άθροισμα τους
οπότε το άθροισμα  του 1008+96=1104 το διαιρεί
έτσι αυτός είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης.

Η εργασία αυτή λοιπόν έχει ως εξής για να βρούμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών διαιρούμε το μεγαλύτερο με το μικρότερο.
Το μικρότερο με το κατάλοιπο.
Το πρώτο κατάλοιπο με το δεύτερο κατάλοιπο.
Ενίοτε σε αυτή τη διαδικασία βρίσκεται η μονάδα μέγιστος κοινός διαιρέτης τότε συμπεραίνουμε ότι οι αριθμοί εκείνοι είναι πρώτοι μεταξύ τους.